Question

13．将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）．点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，在图①的基础上将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求证：$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解；
（2）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠CDN}\\{∠CPD=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△DPM∽△DCN，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$．

点评 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．