Question

13．谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是$\frac{81}{256}$．

Answer 1

分析 根据题意，每次挖去等边三角形的面积的$\frac{1}{4}$，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的$\frac{3}{4}$，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．

解答 解：图2阴影部分面积=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
图3阴影部分面积=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$=（$\frac{3}{4}$）²，
图4阴影部分面积=$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=（$\frac{3}{4}$）³，
图5阴影部分面积=$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{4}$）³=（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{256}$．
故答案为：$\frac{81}{256}$．

点评 本题是对图形变化规律的考查，观察出每次挖出后剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的$\frac{3}{4}$是解题的关键．