Question

15．阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x、y、z元．依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{13x+5y+9z=925}\\{2x+4y+3z=320}\end{array}\right.$
上述方程组可变形为：$\left\{\begin{array}{l}{5（x+y+z）+4（2x+z）=925}\\{4（x+y+z）-（2x+z）=320}\end{array}\right.$
设x+y+z=a，2x+z=b，上述方程组又可化为：$\left\{\begin{array}{l}{5a+4b=925①}\\{4a-b=320②}\end{array}\right.$
①+4×②得：a=105
即x+y+z=105
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需105元．
阅读后，细心的你，可以解决下列问题：
（1）上述材料中a=105
（2）选择题：上述材料中的解答过程运用了A思想方法来指导解题．
A、整体　　　　　B、数形结合　　　　C、分类讨论
（3）某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：

品名次数	甲	乙	丙	丁	用钱金额（元）
第一次购买件数	5	4	3	1	1882
第二次购买件数	9	7	5	1	2764

那么，购买每种体育用品各一件共需多少元？

Answer 1

分析 （1）按要求补充完整上面求解过程，即可得知a=105；
（2）在（1）解题过程中：设x+y+z=a，2x+z=b是运用了整体思想方法来解决问题的，由此得知选A；
（3）设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为x、y、z、m元．根据题意列出关于x、y、z、m的四元一次方程组，将方程组进行变形，设“x+y+z+m=a，4x+3y+2z=b”将四元一次方程组变为二元一次方程组，解方程组即可得出x+y+z+m的值．

解答 解：（1）按照解方程的过程补充完整解题过程如下：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x、y、z元．依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{13x+5y+9z=925}\\{2x+4y+3z=320}\end{array}\right.$
上述方程组可变形为：$\left\{\begin{array}{l}{5（x+y+z）+4（2x+z）=925}\\{4（x+y+z）-（2x+z）=320}\end{array}\right.$
设x+y+z=a，2x+z=b，上述方程组又可化为：$\left\{\begin{array}{l}{5a+4b=925①}\\{4a-b=320②}\end{array}\right.$
①+4×②得：a=105，
即x+y+z=105，
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需，105元．
故答案为：105．
（2）（1）的解题过程中：设x+y+z=a，2x+z=b，
是运用了整体思想解决问题．
故选A．
（3）设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为x、y、z、m元．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{5x+4y+3z+m=1882}\\{9x+7y+5z+m=2764}\end{array}\right.$，
该方程组可变形为：$\left\{\begin{array}{l}{（x+y+z+m）+（4x+3y+2z）=1882}\\{（x+y+z+m）+2（4x+3y+2z）=2764}\end{array}\right.$，
设x+y+z+m=a，4x+3y+2z=b，
上述方程组又可化为：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1882}\\{a+2b=2764}\end{array}\right.$，
解得：a=1000．
即x+y+z+m=1000．
答：购买每种体育用品各一件共需1000元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用以及利用换元法解方程组，解题的关键是：（1）根据解方程过程补充完整解题步骤；（2）运用了整体思想解决问题；（3）利用换元法得出关于a、b的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，整体替换部分是关键．