Question

5．在直角坐标系中，直线l₁经过点（1，-3）和（3，1），直线l₂经过（1，0），且与直线l₁交于点A（2，a）．
（1）求a的值；
（2）A（2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？
（3）设直线l₁与y轴交于点B，直线l₂与y轴交于点C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用待定系数法求得直线l₁的解析式，然后直接把A点坐标代入可求出a的值；
（2）利用待定系数法确定l₂的解析式，由于A（2，a）是l₁与l₂的交点，所以点A（2，a）可以看作是二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=5}\\{x+y=1}\end{array}\right.$的解；
（3）先确定B、C两点坐标，然后根据三角形面积公式计算．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
把（1，-3）和（3，1）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
则直线l₁的解析式为：y=2x-5，
把A（2，a）代入y=2x-5，得：a=2×2-5=-1；

（2）设l₂的解析式为y=mx+n，
把A（2，-1）、（1，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-1}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以L₂的解析式为y=-x+1，
所以点A（2，a）可以看作是二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=5}\\{x+y=1}\end{array}\right.$的解；

（3）把x=0代入y=2x-5，得y=-5，
把x=0代入y=-x+1，得y=1，
∴点B的坐标为（0，-5），点C的坐标为（0，1），
∴BC=1-（-5）=6．
又∵A点坐标为（2，-1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×2=6．

点评 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．