Question

17．如图，若△ABC的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S_△CHF=S_△BCH′=S_△ABC，同理：S_△BGI=S_△ADE=S_△ABC，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：如图，把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置

∵四边形ACHD为正方形，∠ACH=90°，CA=CH=CH′，
∴A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，
∴S_△CHF=S_△BCH′=S_△ABC，
同理：S_△ADE=S_△BGI=S_△ABC，
所以阴影部分面积之和为S_△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{5}$
∴S_{阴影部分面积}=3S_△ABC=3×$\frac{1}{2}×$AB×BC=3×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2=3$\sqrt{5}$．
故答案为：3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出S_△CHF=S_△BCH′，再利用三角形中线分三角形的面积相等得出S_△BCH′=S_△ABC是解题关键．