Question

4．画出任一矩形ABCD的最小覆盖圆，画一个矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，若两个等圆完全覆盖这个矩形，请求出这两个等圆的最小半径．

Answer 1

分析 连任意矩形ABCD的对角线，交点即为圆心、对角线的一半为半径即为所求作圆；分别连接AC、BD交于点P，过点P作EF⊥AD于点E，交BC于点F，可得四边形ABFE是正方形，连接BE、AF交于点O₁，连接DF、CE交于点O₂，分别以O₁、O₂为圆心，O₁A、O₂D为半径画圆即为所求作圆，继而可得最小圆的半径．

解答 解：任意矩形ABCD的最下覆盖圆如图1所示，⊙O即为所求；

如图2，AB=2cm，BC=4cm，

分别连接AC、BD，交于点P，
∴AP=PC，
过点P作EF⊥AD于点E，交BC于点F，
∴PE∥CD，
则AE=DE=AB=2cm，
∴四边形ABFE是正方形，
连接BE、AF交于点O₁，连接DF、CE交于点O₂，
分别以O₁、O₂为圆心，O₁A、O₂D为半径画圆，
则O₁A=O₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$cm，
即这两个等圆的最小半径为$\sqrt{2}$cm．

点评 本题主要考查矩形的性质和圆的定义，熟练掌握矩形的对角线相等并且平分和到顶点的距离等于定长的所有点的集合是圆是解题的关键．