Question

13．平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，G点为BC边上一点，连结DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．
（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA=$\frac{1}{2}$，CE=CG，DG=$\sqrt{5}$，求EF；
（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：$\sqrt{2}$DB=2FG+DF；
（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC=30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，求得BC的长，再根据勾股定理，求得CD的长，最后根据三角形中位线定理，求得EF的长即可；
（2）先延长DG交AB的延长线于H点，根据GD平分∠BDC，得到△BDH是等腰直角三角形，得出DH=$\sqrt{2}$DB，然后判定△BGH≌△EGF（AAS），得到GH=FG，最后根据DH=FH+DF，即可得到$\sqrt{2}$DB=2FG+DF；
（3）先延长DG交AB的延长线于H点，根据∠GDC=∠H=30°，得出DH=2DB，然后判定△BGH≌△EGF（AAS），得到GH=FG，最根据DH=FH-DF，即可得到2DB=2FG-DF．

解答 解：（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=90°，
∵在Rt△BDC中，G为BC的中点，DG=$\sqrt{5}$，
∴BC=2DG=2$\sqrt{5}$，
又∵tanA=tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2BD，
故可设BD=x，CD=2x，则
Rt△BCD中，x²+（2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得x=2，
∴CD=4，
又∵CE=CG，CD∥EF，
∴D为GF的中点，
∴EF=2CD=8；

（2）如图2，延长DG交AB的延长线于H点，则∠DBH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=90°，
又∵GD平分∠BDC，
∴∠BDH=∠CDH=45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=$\sqrt{2}$DB，
又∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠F=∠H，∠E=∠HBG，
又∵G为BE的中点，
∴BG=EG，
∴△BGH≌△EGF（AAS），
∴GH=FG，
∵DH=FH+DF，
∴$\sqrt{2}$DB=2FG+DF；

（3）若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC=30°，则（2）中的结论不成立，正确结论为：2DB=2FG-FD．
证明：如图3，延长DG交AB的延长线于H点，则∠DBH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠GDC=∠H=30°，
∴DH=2DB，
又∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠F=∠H，∠E=∠HBG，
又∵G为BE的中点，
∴BG=EG，
∴△BGH≌△EGF（AAS），
∴GH=FG，
∵DH=FH-DF，
∴2DB=2FG-DF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行求解．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．