题目内容
3．
已知：等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．
（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有4个，请用直尺和圆规在图上画出来．
分析 （1）根据题意分别表示出QO，OP的长，进而得出S与t的关系式；
（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶角顶点，C为顶角顶点，D为顶角顶点，分别讨论，得出答案．
解答 解（1）如图1，∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∴∠POQ=90°，
∵OQ=t，OP=3-3t．
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3-3t）=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t，
即S=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t；
（2）如图2，（i）当D点在OA上，
①以D为顶角顶点时，作OC的垂直平分线交OA于D；
②以O为顶角顶点时，在OA上截取OD=OC；
（ii）当D点在OB上，
由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，
∴OD=OC，在OB上截取OD=OC．
（iii）当D点在AB上时，
此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；
当以C为顶点时，D点和A点重合，
当以D为顶点时，OD=CD，作OC的垂直平分线交AB于D；
综上所述，这样的点D共有4个；
故答案为：4．
点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形面积求法等知识，得出△OCD为等腰三角形时，注意分类讨论，做到不重复，不遗漏．
练习册系列答案
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18．
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