Question

13．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为⊙O上一点，且FB=FD．
（1）如图1，点F在弧AC上时，求证：∠BDC=∠DFB；
（2）如图2，点F在弧BC上时，过点F作FH∥CD分别交AB、BD于点G、H，求证：BD=2FG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD、AF，DH：HG=3：5，OG=5，求△ADF的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可证得$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，然后由圆周角定理，证得：∠BDC=∠DFB；
（2）首先连接FO并延长交BD于点M，连接OD，易证得△FOD≌△FOB（SSS），证得BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，继而证得△FGB≌△BMF（AAS），则可证得结论；
（3）首先设DH=3m，GH=5m，易证得△FHM≌△BHG（AAS），然后由勾股定理得方程（12m-5）²=（8m）²+5²，解此方程即可求得答案．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BDC=∠DFB；

（2）证明：如图2，连接FO并延长交BD于点M，连接OD，
在△FOD和FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OF}\\{FD=FB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△FOD≌△FOB（SSS），
∴∠DFO=∠BFO，
∵FD=FB，
∴FM⊥BD，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵FH∥CD，
∴∠CEG=∠FGB=90°，
在△FGB和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMB=∠BGF}\\{∠MFB=∠GBF}\\{FB=FB}\end{array}\right.$，
∴△FGB≌△BMF（AAS），
∴FG=BM，
∴BD=2FG；

（3）解：如图3，∵DH：HG=3：5，
∴设DH=3m，GH=5m，
∵△FGB≌△BMF，
∴FM=BG，
在△FHM和△BHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHB=∠BHG}\\{∠BGH=∠FMH}\\{FM=BG}\end{array}\right.$，
∴△FHM≌△BHG（AAS），
∴HM=GH=5m，DM=8m，BH=13m，
在Rt△BGH中，HB=13m，GH=5m，
由勾股定理得：GB=12m，
在Rt△FGO中，FG=8m，OG=5，OF=OB=12m-5，
∵FG²+OG²=OF²，
∴（12m-5）²=（8m）²+5²，
解得：m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=0（舍去）；
∴OB=24，DM=12，OF=OB=13，AB=26，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=10，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD×DM=60．

点评 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．