Question

3．已知：抛物线l₁：y=-x²+bx+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求抛物线l₂的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴公式求得b的值，即得到抛物线l₁的解析式，然后根据解析式求得点A的坐标，所以利用点A、点E、点D的坐标来求抛物线l₂的函数表达式；
（2）设P（1，y），由（1）可得C（0，3）．利用两点间的距离公式进行解答即可．

解答 解：（1）∵抛物线l₁：y=-x²+bx+3的对称轴为x=1，
∴-$\frac{b}{-2}$=-1，
解得b=2，
∴抛物线l₁的解析式为：y=-x²+2x+3，或者y=-（x-1）（x+3），
∴点A的坐标是（-1，0）．
又∵抛物线l₂经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），
∴可设抛物线l₂的解析式为：y=a（x+1）（x-5），
又∵抛物线l₂经过点D（0，-$\frac{5}{2}$），
∴-5a=-$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
则抛物线l₂的函数表达式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）或y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；

（2）设P（1，y），由（1）可得C（0，3）．
∴PC²=1²+（y-3）²=y²-6y+10，PA²=[1-（-1）]²+y²=4+y²．
∵PA=PC，
∴y²-6y+10=4+y²，
解得y=1．
∴点P的坐标是P（1，1）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标．二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．