题目内容
4．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）问题的本质就是求BP的长度．当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，即t=4；
（2）分四种情况：0＜t≤3；3＜t≤4；4＜t≤7；7＜t≤8．对于每一种情况，画出标示意图，确定重叠部分的形状，再计算面积；
（3）分三种情况：EF=EP；FE=FP；PE=PF．同样，对于每一种情况，画出对应图形，列方程求解．
解答 解：（1）如图2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则四边形AGHD是矩形．
∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴当t=4时，正方形PQMN的边MN恰好过点D．
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，tan∠C=tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=$\frac{4}{3}$t，BN=t+$\frac{4}{3}$t=$\frac{7}{3}$t，NR=$\frac{7}{6}$t，
∴$S=\frac{\frac{4}{3}t（\frac{1}{2}t+\frac{7}{6}t）}{2}=\frac{10}{9}{t}^{2}$，
如图3，当3＜t≤4时，
BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，BN=t+4，NR=$\frac{1}{2}$t+2，
∴$S=\frac{（\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t+2）×4}{2}=2t+4$；
图4，当4＜t≤7时，
BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4；
∴CN=3-（t-4）=7-t，NR=$\frac{28-4t}{3}$，
∴S=$\frac{（\frac{1}{2}t+4）（8-t）}{2}+\frac{（\frac{28-4t}{3}+4）（t-4）}{2}$=$-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}$；
如图5，当7＜t≤8时，
BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，PH=8-t，
∴$S=\frac{（\frac{1}{2}t+4）×（8-t）}{2}$+$\frac{3×4}{2}$=$-\frac{1}{4}{t}^{2}$+22；
∴综上所述：$S=\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{9}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{2t+4（3＜t≤4）}\\{-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}（4＜t≤7）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+22（7＜t≤8）}\end{array}\right.$
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=$\frac{3}{5}$，
由（1）可知EP=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$t，则EF=EQ=PQ-EP=4-$\frac{1}{2}$t，
如图6，当EF=EP时，
$4-\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t$，
∴t=4；
如图7，当FE=FP时，
作FR⊥EP于R，
∴ER=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{3}{5}$EF，
∴$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}t=\frac{3}{5}（4-\frac{1}{2}t）$，
∴$t=\frac{48}{11}$，
如图8，当PE=PF时，
作PS⊥EF于S，
∴ES=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{3}{5}$PE，
∴$\frac{1}{2}（4-\frac{1}{2}t）=\frac{3}{5}•\frac{1}{2}t$，
∴$t=\frac{40}{11}$；
综上所述，当t=4，$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$时，△PEF是等腰三角形．
点评 本题是四边形综合题，也是动态几何压轴题，主要考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积求法、等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性很强，难度较大．分类讨论思想及方程思想的熟练应用是解答本题的关键．
如图，与∠CAB成内错角的是∠HCA，∠ABI．
如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90度，AB=AD，若这个四边形的面积为24，则AC的长是4$\sqrt{3}$．
如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，则∠ACD=（ ）| A． | 25° | B． | 85° | C． | 60° | D． | 95° |
