Question

11．用8m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长，宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
步骤：
1．设长为xm，透光面积为ym²先列出函数解析式S=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x；
2．求出自变量x的取值范围0＜x＜4；
3．利用解析式求函数的最值并思考最大透光面积能在自变量取值范围内取到吗？

Answer 1

分析 （1）设窗的高度为xm，宽为（$\frac{8-2x}{3}$）m，根据矩形面积公式列出二次函数关系式；
（2）根据长宽均为正数，列不等式组即可解答；
（3）利用二次函数性质求出最值，再考虑取值范围即可．

解答 解：（1）设窗的高度为xm，宽为（$\frac{8-2x}{3}$）m，
故S=$\frac{x（8-2x）}{3}$=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x．
故答案为：S=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x．
（2）根据题意x满足$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{8-2x}{3}＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4；
（3）∵S=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{8}{3}$．
∴当x=2m时，S最大值为$\frac{8}{3}$m²，
∵0＜2＜4，
∴最大透光面积能在自变量取值范围内取到．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解决问题的关键．