Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O分别切AC，BC于点M，N，圆心O在AB上，且AO=15cm，BO=20cm，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 设⊙O的半径为r，连接ON、OM，由切线的性质可知ON⊥BC，则ON∥AC，且ON=OM=r，在Rt△BON中，可用r表示出BN，利用平行线分线段成比例可得到关于r的方程，可求得r，是可求得⊙O的面积．

解答 解：
设⊙O的半径为r，连接ON、OM，
∵⊙O分别切AC，BC于点M，N，
∴ON⊥BC，OM⊥AC，且OM=ON=r，∠C=90°，
∴四边形OMCN为正方形，
∴CN=OM=r，
∴ON∥AC，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{BO}{AO}$，即$\frac{BN}{r}$=$\frac{20}{15}$，
∴BN=$\frac{4}{3}$r，
在Rt△BON中，由勾股定理可得ON²+BN²=BO²，
∴r²+（$\frac{4}{3}$r）²=20²，解得r=12，
∴S_圆O=πr²=144π．

点评 本题主要考查切线的性质及圆的面积，作出过切点半构造出正方形，利用平行线分线段成比例求得圆的半径是解题的关键．