Question

1．如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90°，∠ABD=30°，∠ADB=75°，AC与BD交于点E，若CE=2AE=4$\sqrt{3}$，则DC的长为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过A点作A⊥BD于F，根据平行线的判定可得AF∥BC，根据相似三角形的性质和含30度直角三角形的性质可得BC=AB，根据三角形内角和可得∠ADB=∠BAD，根据等腰三角形的性质可得BD=AB，从而得到BC=BD，在Rt△CBE中，根据含30度直角三角形的性质可得BC，在Rt△CBD中，根据等腰直角三角形的性质可得CD．

解答 解：过A点作A⊥BD于F，
∵∠DBC=90°，
∴AF∥BC，
∵CE=2AE，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠ABD=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=AB，
∵∠ABD=30°，∠ADB=75°，
∴∠BAD=75°，∠ACB=30°，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
∴BC=BD，
∵CE=4$\sqrt{3}$，
在Rt△CBE中，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=6，
在Rt△CBD中，CD=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，得到Rt△CBE是含30度直角三角形，以及Rt△CBD是等腰直角三角形是解本题的关键．