Question

10．某学校为了检测学生的学习能力，设计了一份测试卷，要求检测对象在45分钟内学习特定的材料，并解答相关问题（满分100分）．已知被测试者的学习能力指标P与其所得分数x（分）和完成所需时间t（分钟）存在函数关系：p=ktx²+mx．在检测过程中得到如下数据：

	检测成绩x（分）	完成时间t（分钟）	学习能力指标p
1	100	30	90
2	100	40	80

（1）求k和m的值；
（2）小红用了35分钟完成了该项测试，其成绩为80分，试确定其学习能力指标P的值；
（3）小红用了25分钟完成了该项检测，要使小兵的学习能力指标P取最大值，他检测成绩应该是多少分？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法可求k和m的值；
（2）代值计算即可求解；
（3）先配方，根据二次函数的最值即可求解．

解答 解：（1）依题意有$\left\{\begin{array}{l}{30×10{0}^{2}k+100m=90}\\{40×10{0}^{2}k+100m=80}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.0001}\\{m=0.6}\end{array}\right.$；
（2）p=ktx²+mx=-0.0001tx²+0.6x，
∵t=35，x=80，
∴p=-0.0001×35×80²+0.6×80=25.6；
（3）p=-0.0001×25x²+0.6x=-0.0025x²+0.6x=-0.0025（x²-240x）=-0.0025（x-120）²+36
∵x≤100，
∴要使小兵的学习能力指标P取最大值，他检测成绩应该是100分．

点评 本题考查了二次函数的应用：先通过待定系数法确定二次函数关系式，然后给定自变量的值求出对应的函数值．