Question

9．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{4}{5}$，由此求出AE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠OBE+∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB=DE，AE=EB=6，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=3，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，
∴DF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
∴sin∠DEF=sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{4}{5}$，
∵AE=6，
∴AO=$\frac{15}{2}$．
∴⊙O的半径为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．