题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．将矩形ABCD向下平移，平移后的矩形记为A′B′C′D′在平移过程中，有两个顶点恰好落在反比例函数图象上．（1）求反比例函数解析式；
（2）若矩形以每秒一个单位的速度向下平移，矩形的两边分别与反比例函数的图象交于E，F两点，矩形被E，F两点分为上下两部分，记下部分面积为S，矩形平移时间为t，当1＜t＜5时，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当E，F分别在A′B′，B′C′上时，将△B′EF沿直线EF翻折使点B′落在边A′D′上，求此时EF的直线解析式．
分析 （1）首先根据题意，设矩形ABCD向下平移后点A的坐标是（2，6-x），C的坐标是（6，4-x）；然后根据矩形ABCD平移后A′、C′两点恰好同时落在反比例函数的图象上，可得2（6-x）=6（4-x）=k，据此求出x，即可求出矩形平移后点A的坐标，代入反比例函数的解析式求出k的值，即可求出反比例函数解析式．
（2）首先分别求出当点E和点A′重合时，当点F和点D′重合时，矩形平移时间各是多少；然后分两种情况：①1＜t≤3；②3＜t＜5时，分类讨论，求出S与t的函数关系式即可．
（3）首先设此时EF的直线解析式是y=k′x+b，求出点E的坐标是多少，再把点E的坐标代入EF的直线解析式，判断出k′、b的关系；然后根据EF⊥B′B″，EB″⊥FB″，求出k′的值，进而求出b的值，确定出此时EF的直线解析式即可．
解答 解：（1）根据题意，可得
B（2，4），C（6，4），D（6，6），
显然，平移后A′、C′两点恰好同时落在反比例函数的图象上，
设矩形ABCD向下平移距离为a，
则点A′（2，6-a），点C′（6，4-a），
∵点A′，C′在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴2（6-a）=6（4-a），
解得a=3，
∴矩形平移后A′的坐标是（2，3），
∴k=2（6-x）=6（4-x）=k，
整理，可得4x=12，
解得：x=3，
把x=2，y=3代入反比例函数的解析式，
可得：k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$；
（2）当点E和点A′重合时，
点E的纵坐标是：y=6÷2=3，
矩形平移时间t为：
（6-3）÷1
=3÷1
=3（秒）；
当点F和点D′重合时，
点F的纵坐标是：y=6÷6=1，
矩形平移时间t为：
（6-1）÷1
=5÷1
=5（秒）；
①如图1，当1＜t≤3时，
，
B′F=$\frac{6}{4-t}$-2=$\frac{2t-2}{4-6}$，
B′E=2-（6-3-t）
=t-1
∴S=$\frac{1}{2}×B′F×B′E$
=$\frac{1}{2}（t-1）×\frac{2t-2}{4-t}$
=$\frac{{（t-1）}^{2}}{4-t}$
②如图2，当3＜t＜5时，
，
ED′=6-$\frac{6}{6-t}$=$\frac{30-6t}{6-t}$，
D′F=6-t-1=5-t，
∴S=2×4-$\frac{1}{2}×\frac{30-6t}{6-t}×（5-t）$
=$\frac{{3（5-t）}^{2}}{6-t}$
综上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{（t-1）}^{2}}{4-t}，（1＜t≤3）}\\{\frac{{3（5-t）}^{2}}{6-t}，（3＜t＜5）}\end{array}\right.$．
（3）如图3，
，
设点B′关于EF的对称点是B″，此时EF的直线解析式是y=k′x+b，
点E的坐标是（2，$\frac{6}{2}$），即（2，3），
把（2，3）代入y=k′x+b，
可得2k′+b=3…（1）；
EF与y=$\frac{k}{x}$的两个交点是E、F，E（2，3），
设F点的坐标是（x，y），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=k′x+b}\end{array}\right.$，
可得k′x2+bx-6=0，
∴2x=-$\frac{6}{k′}$，
解得x=$-\frac{3}{k′}$，y=$\frac{6}{-\frac{3}{k′}}=-2k′$，
即F点的坐标是（-$\frac{k′}{3}，-2k′$），B点的坐标是（2，-2k′）；
设B″的坐标是（m，-2k′+2），
则$\frac{（2-2k′）-（-2k′）}{m-2}•k′=-1$，
解得m=2-2k′，
即B″的坐标是（2-2k′，2-2k′），
∵EB″⊥FB″，
∴$\frac{3-（2-2k′）}{2-（2-2k′）}•\frac{（2-2k′）-（2k′）}{（2-2k′）+\frac{3}{k′}}=-1$，
整理，可得k′2-2k′-2=0，
解得k′=$1±\sqrt{3}$，
∵k′＜0，
∴k′=1-$\sqrt{3}$，
∴b=3-2（1-$\sqrt{3}$）=1$+2\sqrt{3}$，
∴EF的直线解析式是：
y=（1-$\sqrt{3}$）x$+（1+2\sqrt{3}）$．
点评 （1）此题主要考查了反比例函数综合题，用待定系数法求反比例函数的解析式，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了矩形的性质、平移的性质的应用，以及三角形的面积的求法，和直线的解析式的求法，要熟练掌握．
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | ±$\sqrt{2}$ | C． | $\root{3}{2}$ | D． | -$\root{3}{2}$ |
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标是（8，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，△ABC的面积为8．
如图，有一张面积为3的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ=1．
如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，则 tan∠EBC的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AB=12cm，AC=15cm．按下列步骤折叠：第一次，把∠B折叠使点B落在AC边上，折痕为AD，交BC于点D；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC于点E、F，EF与AD交于点O，展开后，连结DE、DF．
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．求折痕EF的最大值．