Question

4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，在CD的延长线上取一点E，以CE为直径作圆交AD的延长线于点F，连接FB交圆于另一点G，且GB=DF．
（1）证明：GF=CE．
（2）试求五边形ABCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AGH∽△AFG即可解决问题．
（2）设BG=DF=DH=x，圆的半径为R，则BF=x+2R，AF=2+x，DE=2R-2，由勾股定理和相交弦定理得到，推出2R+xR=4，再根据S_{五边形ABCFE}=S_{正方形ABCD}+S_△ADE+S_△ECF=2+2R+xR即可解决问题．

解答 （1）证明：连接AG，GH，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵CE为圆的直径，
∴BC是圆的切线，
∴BC²=BG•BF，
∴AB²=BG•BF，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BG}{AB}$，
∵∠ABG=∠FBA，
∴△ABG∽△FBA，
∴∠AGB=∠BAF=90°，
∴AG²=AB²-BG²=AD²-DF²=（AD+DF）（AD-DF）=AF（AD-AF），
∵CE为圆的直径，∠ADC=90°，
∴DF=DH，
∴AG²=AF•AH，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AH}{AG}$，
∵∠FAG=∠GAH，
∴△AGH∽△AFG，
∴∠AHG=∠AGF=90°，
∴FG是圆的直径，
∴FG=CE；

（2）解：设BG=DF=DH=x，圆的半径为R，则BF=x+2R，AF=2+x，DE=2R-2，由勾股定理和相交弦定理得到，
BO²=CB²+CO²，CD•DE=DF•DH，
∴（x+R）²=R²+2²，2（2R-2）=x²，
∴x²+2xR=4，4R-4=x²，
∴4R-4+2xR=4，
∴4R+2xR=8，
∴2R+xR=4，
∴S_{五边形ABCFE}=S_{正方形ABCD}+S_△ADE+S_△ECF=2+2R+xR=2+4=6．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加辅助线，构造相似三角形，学会利用参数解决问题，注意整体思想在本题中的体现，属于中考压轴题．