Question

9．规定x=x₀时，代数式$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$的值记为f（x₀）．例如：x=-1时，$f（-1）=\frac{{{{（-1）}^2}}}{{1+{{（-1）}^2}}}=\frac{1}{2}$，则$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（168）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{168}）$的值等于167$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，原式结合后，计算即可得到结果．

解答 解：根据题意得：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$=1，
则原式=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+[f（4）+f（$\frac{1}{4}$）]+…[f（168）+f（$\frac{1}{168}$）]=$\frac{1}{2}$+167=167$\frac{1}{2}$，
故答案为：167$\frac{1}{2}$

点评 此题考查了分式的值，根据题意得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解本题的关键．