Question

16．已知$a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则$\frac{2{a}^{3}+6{a}^{2}+a}{2{a}^{2}-1}$=（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $-\sqrt{3}+2$
• D． $\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 由条件可求得2a+$\frac{1}{a}$及2a-$\frac{1}{a}$，再把所求的式子化为与之相关的代数式，代入计算求值即可．

解答 解：
∵$a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{2}$=$\sqrt{3}$+1，
∴2a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$+1=2$\sqrt{3}$，2a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$-1-（$\sqrt{3}$+1）=-2，
∴$\frac{2{a}^{3}+6{a}^{2}+a}{2{a}^{2}-1}$
=$\frac{a（2{a}^{2}+6a+1）}{2{a}^{2}-1}$
=$\frac{2{a}^{2}+6a+1}{2a-\frac{1}{a}}$
=$\frac{2{a}^{2}+6a+1}{-2}$
=$\frac{a（2a+6+\frac{1}{a}）}{-2}$
=$\frac{a（2\sqrt{3}+6）}{-2}$
=$\frac{2a（\sqrt{3}+3）}{-2}$
=-a$\sqrt{3}$（1+$\sqrt{3}$）
=-$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$×（1+$\sqrt{3}$）
=-$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算性质及乘法公式是解题的关键，巧妙利用2a和$\frac{1}{a}$的关系可以起到简化运算的作用．