实验与探究:三角点阵前n行的点数计算．如图是一个三角点阵.从上向下数有无数多行.其中第一行有1个点.第二行有2个点-第n行有n个点-容易发现.10是三角点阵中前4行的点数的和.你能发现300是前多少行的点数的和吗?如果要用试验的方法.由上而下地逐行的相加其点数.虽然你能发现1+2+3+4+-+23+24=300．得知300是前24行的点数的和.但是这样寻找答案需我们先探求三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

实验与探究：三角点阵前n行的点数计算．
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]+[n+（n-1）+（n-2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n=n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）．
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有$\frac{1}{2}$n（n+1）=300整理这个方程，得：n²+n-600=0解方程得：n₁=24，n₂=-25，根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

分析（1）假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，根据探索可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，再根据方程的解均不为整数，即可得知假设不成立，从而得出结论；
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=n（n+1），假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，根据探索可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，根据未知数的意义确定n的值，此题得解．

解答解：（1）假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，
则有$\frac{1}{2}$n（n+1）=600，整理得：n²+n-1200=0，
解得：n₁=$\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$，n₂=$\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$，
∵n₁，n₂均不为整数，
∴假设不成立，即三角点阵中前n行的点数的和不能是600．
（2）由探索可知：2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=n（n+1），
假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为600，
则有n（n+1）=600，整理得：n²+n-600=0，
解得：n₁=24，n₂=-25，
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是600．