Question

2．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A（-1，-1）和点B（3，-9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用配方法求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点C（m，m）与点D均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值；
（4）在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可写出二次函数解析式；
（2）利用对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）计算出其顶点坐标即可；
（3）把点的坐标代入可求得m的值．
（4）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，-9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线CB′的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）将A（-1，-1），B（3，-9）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=-1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
∴a=1，c=-6，
∴y=x²-4x-6；

（2）∵-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4}{2}$=2，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-24-16}{4}$=-10，
∴对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，-10）；

（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m²-4m-6=m，
∴m=6或-1．
∵m＞0，
∴m=6．

（3）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，-9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．

设直线CB′的解析式为y=kx+b，把A、B代入得到$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{k+b=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直线CB′的解析式为y=3x-12，
∴P（2，-6）．
∴当点P坐标为（2，-6）时，PB+PC最小．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．