Question

17．已知抛物线y=x²+（2m+1）x+m²+m-2，其中m是实数．
（1）若当x＜-$\frac{5}{2}$时，y随x值的增大而减小；当x＞-$\frac{5}{2}$时，y随x值的增大而增大，求m的值．
（2）试证明：不论m是何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
（3）记抛物线与x轴两个交点的横坐标为x₁，x₂，求x₁²+x₂²的最小值．

Answer 1

分析 （1）抛物线的增减性与对称轴有关，因此x=-$\frac{5}{2}$是对称轴，代入公式可求得m的值；
（2）计算△=b²-4ac的值；
（3）利用根与系数的关系先求出两根和与积，再将x₁²+x₂²变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂代入可得结果．

解答 解：（1）由题意得：x=-$\frac{5}{2}$是对称轴，
∴-$\frac{2m+1}{2}$=-$\frac{5}{2}$，
∴m=2；
（2）抛物线y=x²+（2m+1）x+m²+m-2，
△=（2m+1）²-4×1×（m²+m-2），
=4m²+4m+1-4m²-4m+8，
=9＞0，
∴不论m是何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（3）∵x₁+x₂=-2m-1，x₁x₂=m²+m-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-2m-1）²-2×（m²+m-2）=2m²+2m+5=2（m²+m+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$）+5=2（m+$\frac{1}{2}$）²+4.5，
∵2＞0，
∴x₁²+x₂²有最小值，最小值为4.5．

点评 本题考查了二次函数的性质和最值问题，熟练掌握二次函数的性质是关键，明确抛物线的增减性与对称轴有关，根据二次函数的二次项系数a确定其有最大值或有最小值：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．