Question

17．若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），且x₁＜x₂，图象上有一点M（x₀，y₀）在x轴下方，对于以下说法：
①b²-4ac＞0；
②x=x₀是方程ax²+bx+c=y₀的解；
③x₁＜x₀＜x₂ 
④a（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0；
⑤x₀＜x₁或x₀＞x₂，
其中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②⑤
• D． ①②④⑤

Answer 1

分析 ①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b²-4ac＞0，①正确；②由点M（x₀，y₀）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x₀是方程ax²+bx+c=y₀的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x₁＜x₀＜x₂；当a＜0时得出x₀＜x₁或x₀＞x₂，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x₀，y₀）在x轴下方即可得出y₀=a（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，④正确；⑤根据③可得出⑤错误．综上即可得出结论．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），且x₁＜x₂，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，①正确；
②∵图象上有一点M（x₀，y₀），
∴a${{x}_{0}}^{2}$+bx₀+c=y₀，
∴x=x₀是方程ax²+bx+c=y₀的解，②正确；
③当a＞0时，∵M（x₀，y₀）在x轴下方，
∴x₁＜x₀＜x₂；
当a＜0时，∵M（x₀，y₀）在x轴下方，
∴x₀＜x₁或x₀＞x₂，③错误；
④∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
∴y=ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂），
∵图象上有一点M（x₀，y₀）在x轴下方，
∴y₀=a（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，④正确；
⑤根据③即可得出⑤错误．
综上可知正确的结论有①②④．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析五条结论的正误是解题的关键．