Question

20．已知二次函数y=-x²+bx+c，当2＜x＜5时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围是b≤4．

Answer 1

分析 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=b，则当x＞b时，y的值随x值的增大而减小，由于x＞1时，y的值随x值的增大而减小，于是得到b≤1．

解答 解：抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2×（-1）}$=$\frac{1}{2}$b，
因为a=-1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞$\frac{1}{2}$b时，y的值随x值的增大而减小，
而2＜x＜5时，y随x的增大而减小，
所以$\frac{1}{2}$b≤2．
所以b≤4．
故答案为b≤4．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x-$\frac{b}{2a}$时，y取得最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最高点．