Question

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a-b）²+b²-2bc+c²=0．
（1）请说明△ABC是等边三角形；
（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，D是y轴上一点，连接DB、DC，∠ODB=60°，猜想线段DO、DC、DB之间有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,非负数的性质：偶次方,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据（a-b）²+b²-2bc+c²=0，即可求得a=b=c，即可判定△ABC是等边三角形；
（2）在BD上找到点F使DF=OD，连接OF，可得△ODF是等边三角形，易证△DOC≌△FOB，可得BF=CD，即可求得BD=OD+CD．

解答：解：（1）∵（a-b）²+b²-2bc+c²=0，
∴（a-b）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）在BD上找到点F使DF=OD，连接OF，

∵∠ODB=60°，OD=DF，
∴△ODF是等边三角形；
∴OF=OD，
∵∠DOF=∠COB=60°，
∴∠DOC=∠FOB，
在△DOC和△FOB中，

OD=OF ∠DOC=∠FOB OC=OB

，
∴△DOC≌△FOB（SAS），
∴BF=CD，
∴BD=DF+BF=OD+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了等边三角形边长相等性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DOC≌△FOB是解题的关键．