Question

已知⊙O的直径为5，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=3，则AC=

 

，BD=

 

；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）BC为直径可知△ABC为直角三角形，利用勾股定理可求得AC，再结合AD为角平分线，可得CD=BD，在Rt△CBD中可求得BD；
（2）连接OB、OD，则可知∠BOD=2∠DAB=∠CAB=60°，可知△BOD为等边三角形，可知BD=OB，可求得BD的长．

解答：解：
（1）∵BC为直径，
∴∠CAB=∠CDB=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，由勾股定理可求得AC=4，
在Rt△CBD中，BC=5，CD=BD，由勾股定理可求得BD=

5 2

2

，
故答案为：4；

5 2

2

；
（2）如图，连接OB、OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，且OB=OD，
∴△BOD为等边三角形，
∴BD=OB，
又直径为5，
∴BD=2.5．

点评：本题主要考查圆周角定理及等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等是解题的关键．