题目内容
18．如图，已知抛物线y=x2-2x-3经过x轴上的A，B两点，与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D，点E为y轴上的一个动点．（1）求直线BC的函数解析式，并求出点D的坐标；
（2）设点E的纵坐标为为m，在点E的运动过程中，当△BDE中为钝角三角形时，求m的取值范围；
（3）如图2，连结DE，将射线DE绕点D顺时针方向旋转90°，与抛物线交点为G，连结EG，DG得到Rt△GED．在点E的运动过程中，是否存在这样的Rt△GED，使得两直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）先根据抛物线与x轴的交点问题求出A（-1，0），B（3，0），利用对称性可得抛物线的对称轴为直线x=1，再求出C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；当x=1时，y=-x+3=-3，则D点坐标为（1，-2）；
（2）如图1，先判断△OBC为等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，再计算出CD=$\sqrt{2}$，然后通过求出△BDE为直角三角形时m的值来确定△BDE为钝角三角形时，m的取值范围；
（3）分类讨论：①当点G在对称轴右侧的抛物线上时，如图2，作DF⊥y轴于F，GH⊥DF于H，设G（t，t2-2t-3），则GH=t2-2t-3-（-2）=t2-2t-1，由旋转的性质得∠EDG=90°，接着证明Rt△EDF∽Rt△DGH，利用相似的性质得$\frac{DF}{GH}$=$\frac{DE}{DG}$，若$\frac{DE}{DG}$=2，则$\frac{1}{GH}$=2，则t2-2t-1=$\frac{1}{2}$，解得t1=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），t2=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此时G点坐标为（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；若$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{GH}$=$\frac{1}{2}$，则t2-2t-1=2，解得t1=-1（舍去），t2=3，此时G点坐标为（3，0）；②当点G在对称轴左侧的抛物线上时，用同样的方法可得G点坐标为（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0）．
解答 解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则A（-1，0），B（3，0）
所以抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时，y=-x+3=-3，则D点坐标为（1，-2）；
（2）如图1，∵B（3，0），C（0，-3）
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵D（1，-2），
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
当∠EDB=90°时，则△CDE为等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴OE=3-2=1，此时E（0，-1），
∴当m＜-1且m≠-3时，∠EDB为钝角，△EDB为钝角三角形；
当∠EBD=90°时，则△OBE为等腰直角三角形，
∴OE=OB=3，此时E（0，3），
∴当m＞3时，∠EDB为钝角，△EDB为钝角三角形；
∴m的取值范围为m＞3或m＜-1且m≠-3；
（3）存在．
①当点G在对称轴右侧的抛物线上时，如图2，作DF⊥y轴于F，GH⊥DF于H，
设G（t，t2-2t-3），则GH=t2-2t-3-（-2）=t2-2t-1，
∵射线DE绕点D顺时针方向旋转90°，与抛物线交点为G，
∴∠EDG=90°，
∴∠EDF+∠GDH=90°，
而∠EDF+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠GDH，
∴Rt△EDF∽Rt△DGH，
∴$\frac{DF}{GH}$=$\frac{DE}{DG}$，
若$\frac{DE}{DG}$=2，则$\frac{1}{GH}$=2，即t2-2t-1=$\frac{1}{2}$，解得t1=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），t2=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此时G点坐标为（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
若$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{GH}$=$\frac{1}{2}$，即t2-2t-1=2，解得t1=-1（舍去），t2=3，此时G点坐标为（3，0）；
②当点G在对称轴左侧的抛物线上时，用同样的方法可得G点坐标为（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0），
综上所述，G点坐标为（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（3，0）或（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求直线解析式；会运用相似比计算线段的长．难点是如何构建相似三角形和分类讨论思想的运用．
浙江名校名师金卷系列答案
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