Question

8．如图，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=1，CD=3，将△ABD沿AB折叠得到△ABE，将△ACD沿AC折叠得到△ACF，延长EB和FC交于点G．
（1）判定四边形AEGF的形状，并证明你的结论；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出∠BAE=∠BAD，∠E=∠ADB=90°，AE=AD，∠FAC=∠DAC，∠F=∠ADC=90°，AF=AD，证出∠EAF=90°，得出四边形AEGF是矩形，由AE=AF，即可得出结论；
（2）设AD=x，则GF=GE=AE=x，BC=4，BG=x-1，GC=x-3，在Rt△BGC中，根据勾股定理得出方程，解方程求出AD，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD，即可得出结果．

解答 （1）解：四边形AEGF是正方形；理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由折叠的性质得：∠BAE=∠BAD，∠E=∠ADB=90°，AE=AD，
∠FAC=∠DAC，∠F=∠ADC=90°，AF=AD，
∴AE=AF，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：∵四边形AEGF是正方形，
∴∠G=90°，
设AD=x，
则GF=GE=AE=x，
由折叠的性质得：BE=BD=1，CF=CD=3，
∴BC=4，BG=x-1，GC=x-3，
在Rt△BGC中，根据勾股定理得：GC²+BG²=BC²，
即（x-3）²+（x-1）²=4²，
解得：x=2±$\sqrt{7}$（负值舍去），
∴AD=2+$\sqrt{7}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×（2+$\sqrt{7}$）=4+2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．