Question

3．已知：如图，AB∥CD．

（1）如图1，猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系，图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式，请你选择其中的两种方式说明理由．
（2）在图4中，如果BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，则∠E的度数是多少？（直接写出答案）
（3）根据以上推理，直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①过E作EF∥AB，根据平行线的性质推出即可；②连接BD，根据平行线的性质推出即可；③延长BE交CD于Q，根据平行线的性质和三角形外角性质得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠ABD+∠CDB=180°，求出∠EBD+∠EDB=90°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质和图形得出即可．

解答 解：（1）∠B+∠D=∠E，
理由是：如图1：

过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED；

∠B+∠D=∠E，
理由是：如图2，连接BD，

∵AB∥CD，
∴∠ABD+○EBD+∠CDE+∠BDE=180°，
∵∠BED+∠EBD+∠BDE=180°，
∴∠ABE+∠CDE=∠BED；

∠B+∠D=∠E，
理由是：如图3，延长BE交CD于Q，

∵AB∥CD，
∴∠B=∠BQD，
∵∠BQD+∠D=∠BED，
∴∠B+∠D=∠BED；

（2）∠BED=90°，
理由是：如图4：

∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠EBD+∠DBE=90°，
∴∠BED=180°-90°=90°；

（3）图5中∠B+∠E+∠D=360°；图6中∠B+∠E=∠D；图7中∠B+∠D+∠E=180°．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．