Question

6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连结AE、BE、DE．若AE=2，BE=$\sqrt{15}$，∠AED=135°，则正方形ABCD的面积为11+2$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 把△ADE绕点B顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得E′B=DE，AE′=AE，然后求出△AEE′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出EE′，∠EE′A=45°，再求出∠EE′B=90°，利用勾股定理DE，然后根据余弦定理即可得到结果．

解答 解：如图，把△ADE绕点B顺时针旋转90°得到△ABE′
则E′B=DE，AE=AE
∵旋转角是90°，
∴∠EAE′=90°，
∴△EAE′是等腰直角三角形，
∴EE′=$\sqrt{2}$•AE=2$\sqrt{2}$，∠AE′E=45°，
∵∠AED=135°，
∴∠AE′B=∠AED=135°，
∴∠EE′B=135°-45°=90°，
在Rt△EE′B中，由勾股定理得，BE′=DE=$\sqrt{B{E}^{2}-EE{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
过点A作垂线垂直于BE'，交BE'的延长线于点G，可求出RT三角形AGB的AG和BG的长，分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}+\sqrt{7}$
在△ABG中，由勾股定理可知AB²=2+$（\sqrt{2}+\sqrt{7}）$²
∴正方形ABCD的面积=AB²=11+2$\sqrt{14}$．
故答案为：11+2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理以及余弦定理等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．