Question

9．已知：BC=AC+AD，CD平分∠ACB，求证：∠A=2∠B．

Answer 1

分析 在CB上截取CE=CA，连接DE，先证出BE=AD，再由SAS证明△CDE≌△CDA，得出ED=AD，∠DEC=∠A，因此BE=ED，得出∠B=∠BDE，由三角形外角的性质得出∠DEC=∠B+∠BDE，即可得出结论．

解答 证明：在CB上截取CE=CA，连接DE，如图所示：
∵BC=AC+AD，
∴BE=AD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=∠DCA，
在△CDE和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CA}&{\;}\\{∠DCE=∠DCA}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDA（SAS），
∴ED=AD，∠DEC=∠A，
∴BE=ED，
∴∠B=∠BDE，
∵∠DEC=∠B+∠BDE，
∴∠A=2∠B．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线构造三角形全等才能得出结论．