Question

19．在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽（把河两岸看做平行线），某同学在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°方向上．
（1）请根据题意画出示意图；
（2）请计算出这条河的宽度（参考数值：tan31°≈$\frac{3}{5}$，sin31°≈$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根据方向角的定义及已知条件即可画出示意图；
（2）过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=x米，则AD=AB+BD=（20+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$，由此可以列出关于x的方程，解方程即可求解．

解答 解：（1）如图所示：

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，
∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，
∵tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{x}{20+x}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=30．
经检验x=30是原方程的解，且符合题意．
答：这条河的宽度为30米．

点评 此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列出方程解决问题．