Question

4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．
（1）求证：S_△CED=S_△ADE+S_△BCE．
（2）当CE=DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，DE=EF，进而利用等底等高三角形的面积相等得出结论；
（2）由CE=DE=EF，得出∠F=∠ECF，∠ECD=∠CDE，进一步利用三角形的内角和求得∠FCD=90°，证得结论．

解答 （1）证明：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F，
∵E是AB中点，
∴AE=BE，
在△AED与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ABF}\\{AE=BE}\\{∠ADE=∠F}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴DE=EF，S_△AED=S_△EBF，
∴S_△DEC=S_△EFC=S_△ADE+S_△BCE．
（2）解：当CE=DE时，BC⊥CD．
理由：
∵△AED≌△BEF，
∴DE=EF，
∵CE=DE，
∴CE=DE=EF，
∴∠F=∠ECF，∠ECD=∠CDE，
∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE=180°，
∴∠FCD=90°，
∴BC⊥CD．

点评 此题主要考查了三角形全等的判定与性质，垂线的意义，掌握三角形的全等的判定方法是解决问题的关键．