Question

17．△ABC内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，D是⊙O上的一点，AD的延长线交BE于点E，AB•BE=AE•DC，求证：BD是∠CBE的平分线．

Answer 1

分析 连接BC，由BE与⊙O相切于点B，得到∠1=∠2，证得△ABE∽△EDB，得到比例式$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，由于AB•BE=AE•DC，得到比例式$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{BE}$，于是BD=CD，证得∠2=∠3，通过等量代换可得BD是∠CBE的平分线．

解答 证明：连接BC，
∵BE与⊙O相切于点B，
∴∠1=∠2，
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△EDB，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，
∵AB•BE=AE•DC，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{CD}$，
∴BD=CD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠2=∠3，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴BD是∠CBE的平分线．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，圆周角定理，掌握定理是解题的关键．