Question

14．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，P是线段AD的中点，Q是线段BE的中点．
（1）求证：AD=BE；
（2）求证：△CPQ为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，得出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出对应边相等即可；
（2）由△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，AD=BE，证出PD=QE，再由SAS证明△CDP≌△CEQ，得出CP=CQ，∠PCD=∠QCE，然后证出∠PCQ=60°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，
又∵点P、Q分别是线段AD、BE的中点，
∴PD=$\frac{1}{2}$AD，QE=$\frac{1}{2}$BE，
∴PD=QE，
在△CDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}&{\;}\\{∠PDC=∠QEC}&{\;}\\{PD=QE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（SAS），
∴CP=CQ，∠PCD=∠QCE，
又∵∠DCE=60°，
∴∠QCE+∠QCD=60°，
∴∠PCD+∠QCD=60°，
即∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．