在直角坐标系中.放置一个如图1所示的Rt△OAB.∠OAB=90°.OB=2.∠AOB=30°.二次函数y=ax2+bx-3a图象的顶点为B.且与x轴交于点C．(1)求二次函数的表达式及点C的坐标,(2)如图2.点D是线段OB上的一个动点.过点D作直线DE⊥OB交y轴正半轴于点E.将△AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠.设OD=t.折叠后与△AOB重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在直角坐标系中，放置一个如图1所示的Rt△OAB，∠OAB=90°，OB=2，∠AOB=30°，二次函数y=ax²+bx-3a图象的顶点为B，且与x轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）如图2，点D是线段OB上的一个动点，过点D作直线DE⊥OB交y轴正半轴于点E，将△AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠，设OD=t，折叠后与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）如图1，若点P是y轴上的动点，在二次函数的图象上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出顶点B的坐标，运用顶点坐标公式求出a，b的值即可的解析式；
（2）分三段讨论：0＜t≤1，1＜t＜$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$≤t＜2；
（3）分①BC是平行四边形的边时，先求出BC的长度，再根据平行四边形的对边相等求出点Q的横坐标，然后利用抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解；②BC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出点Q的横坐标，然后利用抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解．

解答解：（1）∵∠OAB=90°，OB=2，∠AOB=30°，
∴AB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$），
∴-$\frac{b}{2a}$=1，$\frac{4a×3a-{b}^{2}}{4a}=\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
令y=0，得方程-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=0，
解得x=3或x=-1
∴C（3，0）；
（2）设折叠后点O落在点F处，
当0＜t≤1时，重叠部分为△DEF，如图1所示
DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OD•DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²，此时S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
当1＜t＜$\frac{3}{2}$时，重叠部分为四边形BDEG，如图2所示，
∴S=S_△DEF-S_△BGF
=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²-$\frac{1}{2}$•（2t-2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-2）
=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$
=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{5}$
此时S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
当$\frac{3}{2}$≤t＜2时，重叠部分为△BDG，如图3所示，
∴S=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\sqrt{3}$（2-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t）²
此时S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
综上所述，S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（3）存在，
∵B（1，$\sqrt{3}$），C（3，0）
∴BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
如图4所示，若四边形BCPQ为平行四边形，则BC∥PQ，BC=PQ，
∴△BCM≌△PQN，
∴QN=CM=2，
∴Q（-2，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）；
如图5所示，若四边形BCQP为平行四边形，则BC∥PQ，BC=PQ，
∴QN=CM=2，
∴Q（2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）；
如图6所示，若四边形BQCP为平行四边形，则PB∥CQ，PB=CQ，
∴BM=CN=1，
∴ON=4，
∴QN=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$
综上所述，Q₁（-2，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），Q₂（2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），Q₃（4，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．