Question

19．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE=CF．
（1）如图①，若点E、F分别在线段AB，AC上，求证：DE=DF且DE⊥DF；
（2）如图②，若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC，进而证明△AED≌△CFD，利用全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF进而得出△DEF为等腰直角三角形；
（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，首先利用已知得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答 解：（1）如图①，连接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠DAC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，

理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出AD=BD=DC是解题关键．