Question

14．如图，AC∥CD，AP和CP分别平分∠BAC和∠ACD，过点P分别作PG⊥AC于点G，PE⊥AB于点E，EP的延长线交CD于点F．
（1）求证：∠APC=90°；
（2）求证：PE=PF；
（3）当AE=1，CF=4时，PE=2．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠APC=90°，只要证明∠PAC+∠PCA=90°即可．
（2）根据角平分线的性质定理即可证明．
（3）作AM⊥CD于M，先证明四边形AMFE是矩形，在RT△ACM中求出AM即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP和CP分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠PAC+∠PCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACD）=90°，
∴∠APC=180°-（∠PAC+∠PCA）=90°．
（2）证明：∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∵AP和CP分别平分∠BAC和∠ACD，
∴PE=PG，PG=PF，
∴PE=PF．
（3）解：作AM⊥CD于M，
在RT△APE和RT△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APG，
∴AE=AG=1，
同理CG=CF=4，
∵∠AMF=∠EFM=∠AEF=90°，
∴四边形AMFE是矩形，
∴AM=EF，AE=MF=1，
在RT△ACM中，∵∠AMC=90°，AC=5，CM=3，
∴AM=EF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4，
∴PE=$\frac{1}{2}$EF=2．
故答案为2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质等知识，第三个问题关键是添加辅助线构造直角三角形角问题，属于中考常考题型．