Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E，求证：DE=AE+BC．

Answer 1

分析 连接CD，证明△BCD≌△ACD，得到∠BCD=∠ACD，求出∠ACD=45°，再根据DE⊥AC，得到∠CDE=∠ACD=45°，进而证明CE=DE，即可解答．

解答 解：如图，连接CD，

在△BCD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{DB=AD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BCD=∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=∠ACD=45°，
∴CE=DE，
∴DE=AE+AC=AE+BC．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明连接CD，证明△BCD≌△ACD．