Question

10．已知A、B、D三点在一条直线上，B、C、E三点在一条直线上，AB=AC，DC=DE．
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AD=BE；
（2）如图2，DE与AC交于点F，BE=2EC，则$\frac{DF}{EF}$=2；
（3）如图3，点D在AB的延长线上，点E在CB的延长线上，分别延长ED、AC交于点F，AB=1，∠ABC=α，$\frac{DF}{EF}$=k，求BE的长（用a、k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH∥AC交BE的延长线于H．首先证明△ABC，△DBH都是等边三角形，由△DCB≌△DEH，推出BC=EH，推出BE=CH，由BD=BH，BA=BC，推出AD=CH，推出AD=BE．
（2）如图1中，作DH∥AC交BE的延长线于H．只要证明△DCB≌△DEH，可得BC=EH，推出BE=CH，由BE=2EC，推出CH=2EC，由FC∥DH，推出$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=2．
（3）如图1中，作DH∥AC交BE于H，作AG⊥BC于G．由△DHE≌△DBC，推出EH=BC，推出EB=HC，易知BG=CG=AB•cosα=cosα，由DH∥CF，推出$\frac{CH}{CE}$=$\frac{DF}{EF}$=k，推出BE=k•CE，即BE=k•（BE+2cosα），求出BE即可．

解答 （1）证明：如图1中，作DH∥AC交BE的延长线于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠H，
∴DB=DH，
∵∠B=60°，
∴△ABC，△DBH都是等边三角形，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCB=∠DEH，
在△DCB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠H}\\{∠DCB=∠DEH}\\{DB=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DEH，
∴BC=EH，
∴BE=CH，
∵BD=BH，BA=BC，
∴AD=CH，
∴AD=BE．

（2）解：如图2中，作DH∥AC交BE的延长线于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠H，
∴DB=DH，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCB=∠DEH，
在△DCB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠H}\\{∠DCB=∠DEH}\\{DB=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DEH，
∴BC=EH，
∴BE=CH，
∵BE=2EC，
∴CH=2EC，
∵FC∥DH，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=2，
故答案为2．
（3）解：如图3中，作DH∥AC交BE于H，作AG⊥BC于G．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠DHC=∠DBH，
∴DH=DB，∠EHD=∠DBC，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCB，
在△DHE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DCB}\\{∠DHE=∠DBC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DHE≌△DBC，
∴EH=BC，
∴EB=HC，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=AB•cosα=cosα，
∵DH∥CF，
∴$\frac{CH}{CE}$=$\frac{DF}{EF}$=k，
∴BE=k•CE，
∴BE=k•（BE+2cosα），
∴BE=$\frac{2kcosα}{1-k}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．