Question

18．如图，点O是△ABC内的一点，AB=AC，∠BAC=90°，∠BOC=120°，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC，连结OD．
（1）求证：△AOD是等腰直角三角形；
（2）求证：∠DCO=30°
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，得出AD=AO，∠OAD=∠BAC=90°，进而得出△AOD是等腰直角三角形；
（2）根据旋转的性质可得∠ADC+∠AOC=240°，再根据△AOD是等腰直角三角形，可得∠DOA=90°，最后根据四边形内角和定理，得出四边形AOCD中，∠DCO=360°-90°-240°=30°；
（3）分三种情况讨论：①若∠COD=∠CDO；②若∠COD=∠OCD；③若∠CDO=∠OCD，分别根据等腰三角形两个角相等，列出方程进行求解．

解答 解：（1）∵△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC，
∴AD=AO，∠OAD=∠BAC=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形；

（2）∵∠BOC=120°，
∴∠BOA+∠AOC=360°-120°=240°，
由旋转可得，∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=240°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DOA=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°-90°-240°=30°；

（3）由题可得，∠COD=360°-∠AOD-∠α-∠COB=360°-45°-∠α-120°=195°-∠α，
∠CDO=∠ADC-∠ADO=∠α-45°，
∠OCD=180°-∠COD-∠CDO=180°-（195°-∠α）-（∠α-45°）=30°，
①若∠COD=∠CDO，即195°-∠α=∠α-45°，
解得：∠α=120°；
②若∠COD=∠OCD，则195°-∠α=30°，
解得：∠α=165°；
③若∠CDO=∠OCD，即∠α-45°=30°，
解得：∠α=75°；
即当α为120°或165°或75°时，△COD是等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解题时注意分类思想的运用．