Question

如图：△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C以2厘米/秒的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8cm²？
（2）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B后又继续在BC上前进，Q点到C点后又继续在CA边上前进，当P在BC上，Q在AC上时，是否存在某一时刻，使△PCQ的面积等于12.6cm²？若存在求运动时间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，

1

2

（6-x）•2x=8，通过解方程求得x₁=2，x₂=4；
（2）过Q作QD⊥CB，垂足为D，构建相似三角形△CQD∽△CAB，由该相似三角形的对应边成比例得到

QD

2x-8

=

AB

AC

，QD=

6(2x-8)

10

；
然后由三角形的面积公式列出关于x的方程

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．

解答：解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm²，
由题意得

1

2

（6-x）•2x=8，解之，得x₁=2，x₂=4，
经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；
或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm²，
综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm²；

（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：

1

2

×PB×CQ=

1

2

×（6-x）（8-2x）=12.6，
解得：x₁=

25+2 85

5

（不合题意舍去），x₂=

25-2 85

5

，
经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得

QD

2x-8

=

AB

AC

，
即 QD=

6(2x-8)

10

，
由题意得

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm²．
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．
综上所述，经过7秒和

25-2 85

5

秒时△PCQ的面积等于12.6cm²．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的应用．灵活运用面积公式，列出方程，正确理解两解，合理取合．