Question

在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x²（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线OP：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直线OA：y=

3

x，
联立抛物线的解析式得：

y= 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
故A（

3

，3）；
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，则直线y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
故P（

3

3

，

1

3

），那么A（

1

3

，

3

3

）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
故P（

3

3

，

1

3

），
∴OP=

( 3 3 )2+( 1 3 )2

=

2

3

，QP=

2 3

3

，
∴OH=OP=

2

3

，AH=QP=

2 3

3

，
故A（

2

3

，

2 3

3

）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y=

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），
∴QP=2，OP=2

3

，
∴OH=QP=2，AH=OP=2

3

，
故A（2，2

3

）．
综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（

3

，3）或（

1

3

，

3

3

）或（

2

3

，

2 3

3

）或（2，2

3

）．
故答案为：（

3

，3）或（

1

3

，

3

3

）或（

2

3

，

2 3

3

）或（2，2

3

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论．