Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以顶点B为圆心，边BC长为半径画弧，交AD边于点E，连结BE，过C点作CF⊥BE于F．
（1）求证：△ABE≌△FCB；
（2）求EF的长度．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，易证得∠AEF=∠FBC，又由CF⊥BE，可得∠A=∠BFC=90°，然后由BE=BC，利用AAS即可判定：△ABE≌△FCB；
（2）利用勾股定理可求得AE的长，继而求得答案．

解答：证明：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AEF=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在△ABE和△FCB中，

∠A=∠BFC=90° ∠AEB=∠CBF BE=BC

，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；

（2）∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE=

BE2-AB2

=4，
∴EF=BE-BF=1．

点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．