Question

如图，边长为1的正△ABC，沿EF折叠，使B点落在AC上的点H处，且FH⊥AC，求折成的四边形AEFC的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,等边三角形的性质

专题：计算题

分析：作FD⊥AB于D，如图，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得FH=FB，∠HFE=∠BFE，利用FH⊥AC得到∠HFC=30°，设HC=t，在Rt△FHC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得FC=2t，FH=

3

t，则BF=

3

t，所以2t+

3

t=1，解得t=2-

3

，所以BF=

3

t=2

3

-3；再计算∠BFH=180°-∠HCF=150°，则∠BFE=75°，于是根据三角形内角和定理得∠2=45°；在Rt△BDF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BD=

1

2

BF=

3

-

3

2

，
DF=

3

BD=3-

3 3

2

，在△DEF中，利用等腰直角三角形的性质得DE=DF=3-

3 3

2

，所以BE=BD+DF=

3

-

3

2

+3-

3 3

2

=

3- 3

2

，然后根据三角形面积公式计算出S_△BEF=

27-15 3

8

，最后利用四边形AEFC的面积=S_△ABC-S_△BEF进行计算．

解答：解：作FD⊥AB于D，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=90°，
∵等边△ABC沿EF折叠，使B点落在AC上的点H处，
∴FH=FB，∠HFE=∠BFE，
∵FH⊥AC，
∴∠HFC=30°，
设HC=t，
在Rt△FHC中，FC=2t，FH=

3

t，
∴BF=FH=

3

t，
∵BC=BF+FC=1，
∴2t+

3

t=1，
解得t=2-

3

，
∴BF=

3

t=2

3

-3，
∵∠BFH=180°-∠HCF=150°，
∴∠BFE=75°，
∴∠2=180°-∠B-∠BFE=45°，
在Rt△BDF中，BD=

1

2

BF=

3

-

3

2

，
DF=

3

BD=3-

3 3

2

，
在△DEF中，DE=DF=3-

3 3

2

，
∴BE=BD+DF=

3

-

3

2

+3-

3 3

2

=

3- 3

2

，
∴S_△BEF=

1

2

FD•BE=

1

2

•（3-

3 3

2

）•

3- 3

2

=

27-15 3

8

，
∴四边形AEFC的面积=S_△ABC-S_△BEF
=

3

4

×1²-

27-15 3

8

=

17 3 -27

8

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．