Question

9．如图，设P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R．求证：$\frac{1}{PQ}$+$\frac{1}{PR}$为定值．

Answer 1

分析 过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，通过相似三角形△AEC∽△PAR，得出关于AC，PQ，AE，AP的比例关系式，同理可求出AC，PR，AE，PC的比例关系式，两式联立可得出$\frac{1}{PQ}$+$\frac{1}{PR}$ 的表达式，然后根据相交弦定理即可证得所求的结论．

解答 证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，过P作直径交⊙O于M，N，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥AR，PR⊥AR，
∴AE∥PR且∠PRA=90°．
∴∠EAC=∠APR，∠ACE=∠PRA，
∴△AEC∽△PAR．
∴$\frac{AC}{PR}$=$\frac{AE}{PA}$ ①
同理可得：$\frac{AC}{PQ}$=$\frac{AE}{PC}$②
①+②，得：$\frac{AC}{PR}$+$\frac{AC}{PQ}$=$\frac{AE}{PA}$+$\frac{AE}{PC}$
∴$\frac{1}{PQ}$+$\frac{1}{PR}$=$\frac{AE}{AC}$•$\frac{PA+PC}{PA•PC}$=$\frac{AE}{PA•PC}$，
∵PA•PC=PM•PN．
∴$\frac{1}{PQ}$+$\frac{1}{PR}$=$\frac{AE}{PM•PN}$．
∵AE是直径，点P是定点，
∴PM•PN是定值，
∴$\frac{1}{PQ}$+$\frac{1}{PR}$是定值．

点评 本题主要考查了相似三角形和相交弦定理的应用，根据相似三角形得出与所求相关的线段成比例是解题的关键，题目有一定难度，学会条件常用辅助线，构造相似三角形．