Question

19．如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）相交于A（1，2），B（n，-1）两点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）为双曲线上的三点，且x₁＜0＜x₂＜x₃，请直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系；
（3）观察图象，请直接写出不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的性质即可判断；
（3）根据图象的交点坐标即可得到不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$的解集．

解答 解（1 ）∵双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点A（1，2），
∴m=2，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$；

（2）根据反比例函数的图象在一、三象限y随x的增大而减小可知：若x₁＜0＜x₂＜x₃，则y₂＞y₃＞y₁；

（3）∵点B（n，-1）在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴n=-2，
∴B点坐标为（-2，-1）
A（1，2）、B（-2，-1）在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=x+1．
根据图象得当x＜-2或0＜x＜1时，kx+b＜$\frac{m}{x}$，
即不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$的解集为：x＜-2或0＜x＜1．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质．