Question

19．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴的左侧部分上运动，直线m经过点B和点Q是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设D（t，-t²+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）设D（t，-t²+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
，
则S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×
3=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，D点坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面积的最大值是$\frac{27}{8}$．

（3）①如图，设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，

∵∠CNG=∠BNO，∠CGN=∠NOB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在△AOC和△NOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠OBN}\\{∠AOC=∠BON}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△NOB，
∴ON=AO=1，
∴N（0，1），
设直线BG的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BG的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，
∴解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1；
综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1或y=-$\frac{1}{3}$x+1．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中构建二次函数是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．