Question

3．在△ABC中，AD为高线，若AB+BD=CD，AC=4$\sqrt{5}$，BD=3，则线段BC的长度为5或11．

Answer 1

分析 分两种情形①如图1中，△ABC是锐角三角形时．②如图2中，△ABC是钝角三角形时，分别利用勾股定理，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图1中，设AB=x，则CD=AB+BD=3+x，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴x²-3²=（4$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
解得x=5或-8（舍弃），
∴BC=BD+CD=3+3+5=11．
如图2中，设AB=x，则CD=AB+BD=3+x，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴x²-3²=（4$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
解得x=5或-8（舍弃），
∴BC=CD-BD=5，
故答案为5或11．

点评 本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意有两种图形，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．